Tugas Kelompok 3 : Konsep Probabilitas

Nama Kelompok:
1. Dyah Eka Wulandari
2. Nova Hadiansyah
3. Novi Ashifa
4. Tiyo Indradi
5. Triana Haryani

Kelas : 4EA01


DEFINISI PROBABILITAS

Probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan terjadi. Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi

Jadi, Teori probabilitas atau peluang merupakan teori dasar dalam pengambilan keputusan yang memiliki sifat ketidakpastian.

RUMUS PROBABILITAS

Untuk menghitung probabilitas suatu kejadian adalah dengan cara mencari banyaknya anggota kejadian, dibandingkan dengan banyaknya anggota ruang sampelnya.

P (A) = X / n

PERCOBAAN, RUANG SAMPLE, TITIK SAMPLE, DAN PERISTIWA

Percobaan adalah proses di mana pengukuran atau suatu observasi dilaksanakan.

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Contohnya:

1. Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang muncul paling atas adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Sehingga ruang sampel dari mata dadu yang muncul paling atas pada pelemparan sebuah dadu adalah1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
2. Suatu pabrik memproduksi sejenis produk kesehatan. Kemungkinan produk yang dihasilkan adalah produk yang “cacat” dan “tidak cacat”. Sehingga ruang sampel dari sebuah produk yang dihasilkan oleh pabrik tersebut adalah produk yang "cacat" dan produk yang "tidak cacat".
3. Sebuah koin dilempar ke atas. Setelah jatuh, maka kemungkinan sisi yang muncul paling atas adalah “Gambar” atau “Angka”. Sehingga ruang sampel dari sisi yang muncul pada pelemparan sebuah koin adalah"Angka" dan "Gambar".

Kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul dalam ruang sampel disebut juga dengan Titik Sampel. Sehingga titik sampel merupakan unsur atau anggota dari ruang sampel.

Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil dari percobaan yang bersangkutan.

Contoh:

Dua buah mata uang setimbang dilemparkan ke atas. Menentukan ruang sampel, titik sampel, dan peristiwa yang mungkin ?

Jawab :

Percobaan : pelemparan dua mata uang logam

Ruang sampel : {A,G}, {A,A}, {G,A}, {G,G}  

Titik sampel : G (gambar) dan A (angka)

Peristiwa yang mungkin :

1. AA (angka dengan angka)

2. AG (angka dengan gambar)

3. GG (gambar dengan gambar)

4. GA (gambar dengan angka)

PROBABILITAS BEBERAPA PERISTIWA

Ada beberapa peristiwa yang terjadi dalam probabilitas, antara lain:

·         PERISTIWA SALING LEPAS (MUTUALLY EXCLUSIVE)

Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P (A U B) = P (A) + P (B)

Jika peristiwa A, B, dan C saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)

Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah :

A = peristiwa mata dadu 2 muncul

B = mata dadu lebih dari 4 muncul

Tentukan probabilitasnya dari kejadian P (A U B) :

P (A) = 1   dan P (B) = 2

             6                        6

 P ( A U B )  =   1   +   2   =   3

                           6        6        6

·         PERISTIWA TIDAK SALING LEPAS (NON-MUTUALLY EXCLUSIVE)

Dua buah peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersamaan. Jika peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :

P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Jika peristiwa A, B, dan C saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Contoh:

Setumpuk kartu bridge yang akan diambil salah satu kartu. Berapa probabilitasnya adalam sekali pengambilan tersebut akan diperoleh kartu Ace atau kartu Diamont ?

Dimisalkan : A = kartu Ace

                      D = kartu Diamont

Maka  P(AUD) = P(A) + P(D) – P(A∩D)

                          =  4    +   13   -   1

                              52         52      52

                         =    16

                                52

·         PERISTIWA INDEPENDENT (BEBAS)

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B saling bebas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

P (AB) = P(A) x P(B)

Untuk tiga peristiwa A, B, dan C saling bebas, maka probabilitas terjadinya  peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :

P (ABC) = P(A) x P(B) x P(C)

Contoh:

Dari 100 barang yang diperiksa terdapat 30 barang rusak. Berapa probabilitasnya dalam :

1. tiga kali pengambilan terdapat rusak 1
2. empat kali pengambilan terdapat bagus 1

jawab :

Dimisalkan  A = bagus

                    B = rusak

Maka  P(A)  = 0,70    P(B) = 0,30

a.  K³ =  3

        ¹           

   =  P(A ∩A∩B) U P(A ∩B∩A) P(B ∩A∩A)

   =  0,70 x 0,70 x 0,30  atau 0,70 x 0,30 x 0,70 atau 0,30 x 0,70 x 0,70

   =  0,147  + 0,147 + 0,147 = 0,441

·         PERISTIWA DEPENDENT (BERSYARAT)

Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi ditulis sbb :

P( B/A)

Dengan demikian probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dirumuskan sbb :

P(A∩B) = P(A) x P(B/A)

Sedang probabilitas A akan terjadi jika diketahui bahwa B telah terjadi ditulis sbb :

P (A/B)

Maka probabilitas B dan A akan terjadi dirumuskan sbb :

P (A∩B) = P(B) x P(A/B)

Contoh:

Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas peertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitasnya bahwa :

1. Keduanya bola putih
2. Keduanya bola hitam
3. Satu bola putih dan satu bola hitam

Jawab

Misalnya A₁ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A₂ menunjukkan peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, maka :

P(A₁ ∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁) = 4/6 X 3/8 = 1/4

Misalnya A1 menunjukkan peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan A2 menunjukkan peristiwa tidak terambilny7a bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka :

P(A₁∩A₂) = P(A₁) x P(A₂/A₁)   = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24

Probabilitas yang dimaksud adalah :

P(A₁∩B₂) U P(B₁∩A₂) 

  

HARAPAN MATEMATIS

Harapan matematis atau nilai harapan adalah jumlah semua hasil perkalian antara nilai variabel acak dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.

Jika P1, P2…..Pk merupakan probabilitas terjadinya peristiwa maka E1, E2 …….Ek dan andaikan V1, V2…….Vk adalah nilai yang diperoleh jika masing-masing peristiwa diatas terjadi, maka harapan matematis untuk memperoleh sejumlah nilai adalah :

E(V) = P1 V1 + P2V2 + ………Pk Vk

Contoh:

Dalam suatu permainan berhadiah, pihak penyelenggara akan membayar Rp. 180.000,- apabila pemain mendapat kartu Ace, dan akan membayar Rp. 100.000,- apabila mendapoatkan kartu King dari setumpuk kartu bridge yang berisi 52 kartu. Bila tidak mendapatkan kartu ace dan kartu King pemain harus membayar Rp. 45.000,- . berapa harapan matematis pemain tersebut ?

Jawab

E (V)  =  Rp. 180.000 ( 4/52) + 100.000 (4/52) – 45.000 (44/52)

           =  Rp.    16.538,46  =  Rp. 16.500,-

DISTRIBUSI TEORITIS

Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan.

Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

Macam-macam dari distribusi teoritis yaitu:

1.      Distribusi Binomial (Bernaulli)

Penemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli. Menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal, sehat dan sakit.

Syarat-syarat distribusi binomial yaitu:

1.  Jumlah trial merupakan bilangan bulat.

Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½ kali.

2. Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses/gagal,laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidak setuju.

3.  Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Contoh:

Simbol peristiwa Binomial adalah b (x,n,p)

b=binomial

x=banyaknya sukses yang diinginkan (bilangan random)

n= Jumlah trial

p= peluang sukses dalam satu kali trial.

Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis

b(2,5,1/6)  x=2, n=5, p=1/6

Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2)  b (2, 4, 0,2)

Jawab:

Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C,B&D, C&D.

Disamping memakai rumus binomial, permasalahan ini juga dapat dikerjakan dengan memakai tabel binomial, caranya adalah dengan menentukan n.misalnya dari contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam permasalahan ini adalah x=2. p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2, ditarik garis dari p= 0,2 sampai ke n = 4dan x = 2, ditabel didapatkan 0,973. Ini adalah peluang kumulatif dari p (x=0) + p (x=1) + p (x=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(x=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154

2.      Distribusi Poisson

Dalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil  (daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan pada  suatu kejadian dengan p <<< dan menyangkut kejadian yang luas n >>> maka digunakan distribusi Poisson.

Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.

Contoh:

Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis

adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000.

Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!

Penyelesaian:

µ = λ = n.p = 4000 x 0,0005 = 2

p(x=3) = 2³ x 2,71828^-2 = 0,1804

                   3 x 2x 1

3.      Distribusi Normal (Gauss)

Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak mendekati 0,….,1 dilakukan pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss)

Ditemukan pertama kali oleh matematikawan asal Prancis, Abraham D (1733), diaplikasikan lebih baik lagi oleh astronom asal, Distribusi Normal = Distribusi Jerman,Friedrich Gauss Gauss

Contoh:

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40 – 60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol mereka 215 mg % dan simpangan baku Sd = 45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. > 250 mg %

b. < 200 mg %

c. antara 200 – 275 mg %

Jawab:

Nilai x ditransformasikan ke nilai z. Di dalam tabel nilai z berada pada kolom paling kiri dan baris paling atas. Ambillah nilai 2 ini tiga digit saja. Nanti 2 digit ada di kolom dan digit ketiga ada di baris.

a. Z = 250 -215 = 0,76

  45

0,76 = 0,7 + 0.06   (Lihat tabel) = 0,7 dilihat pada kolom ; 0,06 pada baris

 lihat lampiran tabel III didapat nilai 0,2764, ini adalah luas area antara 215 s.d 250.

 yang ditanyakan adalah p (x > 250 mg%), jadi untuk mendapatkan area  

> 250 mg% adalah 0,5 – 0,2764 = 0,2236

b. P (x < 200 mg%)

Z = 200 -215 = 0,33  Tabel 0,1297

45

Jadi P (x < 200 mg%) = 0,5 – 0,1297 = 0,3703

c. P (200 mg% < x < 275 mg%)

pada soal b. sudah didapatkan area antara 215 mg% s.d 200 mg% = 0,1297

 z = 275 – 215 = 1,33   Tabel 0,4082

    45

Jadi P (200 mg% < x < 275 mg%) = 0,1297 + 0,4082 =0,5379


Sumber:
asriimmawati.files.wordpress.com/2012/02/teori-kemungkinan.doc
http://digilib.unimed.ac.id/public/UNIMED-Undergraduate-22180-BAB%20II.pdf
rogayah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/35763/Pertemuan+1.ppt

Posted in: Tugas Teori Pengambilan Keputusan